Unidad 10. REGRESIÓN LINEAL (II)

10.2 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS EN EL MODELO LINEAL

Antes de hablar del modelo lineal, veamos el siguiente ejemplo:

En la página 297 del libro Problemas Econometría, A. Aznar y A. García proponen como problema 4.22 el siguiente caso: Evaluar los efectos de la “revolución verde” tomando una muestra entre los años 1957 a 1976 sobre de la producción agrícola española, Y_i, conjuntamente con el volumen de fitosanitarios, X₁, de la maquinaria agrícola, X₂ y del financiamiento público y privado, X₃. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

El problema consiste en comprobar si la producción agrícola depende del volumen de fitosanitarios, de la maquinaria y parque automotor y del financiamiento público y privado.

Lógicamente la sola definición de las variables sugiere un modelo de la forma

Y_i = β₀ + β_i X_i1 + β₂ X_i2 + β₃ X_i3 + ε_i

Pero antes de formularlo, deberíamos estar seguros que será este el modelo. Para ello hemos realizado un análisis de gráficos utilizando el diagrama de dispersión entre la producción agrícola y cada una de las variables independientes. Todo este análisis exploratorio de datos (EDA) lo hemos realizado en el archivo RegreLineal.xlsx, uno de cuyos gráficos mostramos aquí.

Este gráfico de dispersión, realizado en Excel nos dice que la producción agrícola está en relación con el volumen de fitosanitarios. Observen que Excel nos permite obtener la relación lineal Y = 58060 + 123.2X₁

De manera que el modelo lineal general será el siguiente:

Y_i = β₀ + β₁ X_i1 + β₂ X_i2 + β₃ X_i3 + …+ β_k X_ik + ε_i     (1)

Donde

Y representa la variable dependiente o variable explicada

X₁, X₂,…, X_k representan las variables independientes o variables explicativas

k representa el número de variables independientes

β₀ es el intercepto o valor inicial de Y cuando todos los X_i son iguales a 0.

 β₁,β₂ ,…,β_k son los coeficientes de regresión.

Y ε_i es una variable estocástica que debe cumplir los siguientes supuestos:

El objetivo es obtener los valores críticos que hacen que la sumatoria del lado izquierdo sea mínimo. Estos valores críticos son los estimadores de cada uno de los parámetros β_i del modelo.

El procedimiento para obtener estos estimadores es el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), estudiado en el capítulo de estimación puntual.

De manera que

Si β₀, β_i, β ₂,….,β_k son los estimadores de los coeficientes de regresión que han sido obtenidos por dicho método, entonces el modelo estimado será

Y^s_i = β^s₀ + β^s₁ X_i1 + β^s₂ X_i2 + …+ β^s_k X_ik     (3) Donde Y^s_i representa el estimador de Y, conocido también como Y pronosticado o Y predicho.