Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XVIII)

3.6 TEOREMA DE BAYES

Sean B₁, B₂, B₃,…, B_k, una partición de eventos del espacio muestral Ω. Sea A un evento cualquiera de Ω. Entonces

Ejemplo 33

Una compañía de seguros de taxis clasifica a los choferes en tres categorías: A, B y C. El 30% de los choferes que recurren para asegurarse, pertenecen a la categoría A; el 50% a la categoría B y sólo el 20% de la categoría C. La probabilidad de que un chofer de la categoría A tenga un accidente durante un año determinado, es 0.01. Para uno de la categoría B, es 0.03 y 0.10 para los de la categoría C. Si un día uno de los taxistas asegurados sufre un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría A, B ó C?

Solución

Como primero se detecta (primer experimento) la categoría a la que pertenece el taxista, diremos que los eventos: “Categoría A, B o C”, ocurren primero. El segundo experimento consiste en la ocurrencia o no del accidente, lo que genera los nodos de la derecha del árbol.

Sea M_A: “El chofer pertenece a la categoría A”

       M_B: “El chofer pertenece a la categoría B”

       M_C: “El chofer pertenece a la categoría C”

        X: “El taxista sufre un accidente”

Según esto, debemos encontrar

- La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Mi, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = A

- La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Mi, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = B

- La probabilidad de que el taxista pertenezcaa la categoría Ci, sabiendo que ha ocurrido X;es decir, P(Mi/X), i = C.

Aplicando el Teorema de Bayes, tenemos

Dejamos para el lector reemplazar las probabilidades correspondientes tomando en cuenta los valores que se tienen en el diagrama de árbol.