Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Covarianza de dos variables

Sean X e Y dos variables aleatorias con μ_X = E[X], μ_Y = E[Y], del mismo modo, σ² = V[X] y σ² = V[Y]. Diremos que Cov(X, Y) es la covarianza de X e Y, la que será definida como

Cov(X, Y) = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)]

Teorema

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

En efecto,

Cov(X,Y) = E[XY - Xμ_Y- μ_XY + μ_X μ_Y]

                = E(XY)-E(X) μ_Y - μ_XE(Y) + μ_Xμ_Y

                =E(XY)- μ_X μ_Y

La covarianza permite saber si existe alguna relación entre las dos variables. En las siguientes figuras hemos trazado la gráfica de la venta del pollo y su precio.

En la primera figura tenemos la demanda (X) vs el precio (Y)

En la segunda, la oferta (X) vs el precio (Y)

En la tercera, en la tercera gráfica, X puede ser considerada como la demanda u oferta del pollo mientras que Y será el precio.

En la primera figura podemos apreciar que, cuando la demanda aumenta, también aumenta el precio mientras que en la segunda, cuando aumenta la oferta del pollo, el precio del mismo disminuye.

En la tercera figura cuando la variable X aumenta, nada puede decirse de Y pues ésta aumenta o disminuye, independientemente de X.

En la primera y segunda figura existe relación entre la demanda u oferta del pollo y su precio. En el primer caso hay una relación directa positiva; en la segunda existe una relación inversa negativa. En la tercera figura podemos apreciar que las dos variables (X e Y) son independientes.