Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (XVIII)

5.7 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES

Sea X₁, X₂ , … , X_n1 una muestra aleatoria extraída de una población normal de parámetros σ²₁.

br> Del mismo modo, sea Y₁, Y₂, … , Y_n2 una muestra aleatoria extraída de una población normal de parámetros σ²₂.

Supondremos también que ambas poblaciones son independientes.

Nota 1:

Toda vez que se necesite resolver probabilidades de la forma P(s²₁ < s²₂) o algunas de sus formas, deberemos realizar una transformación de variables hasta conseguir la forma cómo se define a T para luego utilizar la distribución F de Fisher a fin de encontrar la probabilidad buscada.

Nota 2:

Si las varianzas poblacionales son iguales u homogéneas entonces la variable muestral: cociente de varianzas muestrales debe tomar la forma T=(s²₁ / s²₂ ) para tener una distribución F de Fisher con n ₁ - 1 y n₂ - 1 grados de libertad en el denominador y denominador, respectivamente.

Ejemplo 21

Se tienen dos variables normales independientes, tales que:

a) Calcular , siendo: n₁ = 12 y n₂ = 15.

b) Hallar k tal que: , siendo: n₁ = 24 y n₂ = 20.

Solución

b) Dado P(s²₁ ≤ a²₂) = 0.88, primero dividiremos entre s²₂ y luego debemos transformarla en una variable que se distribuya como F(: n₁ - 1, n₂ - 1) y finalmente lo igualamos a 0.88.

En efecto

Puesto que no se conoce el valor para el cual se tiene P(F < 1.2143k) = 0.88,

Usando la función inversa en F obtenemos:

Distr.F.Inv(0.12,23,19) = 1.7074745 Esto significa que 1.7074745 = 1.2143k, de donde k = 1.40614