Unidad 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS (XIII)

7.6 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA IGUALDAD DE MEDIAS

Sean X₁, X₂,…, X_n1 una muestra aleatoria extraída de una población con media μ₁ y varianza σ²₁ ; del mismo modo sea Y₁, Y₂,…, Y_n2 otra muestra aleatoria extraída de una población con media μ₂ y varianza σ²₂. De acuerdo a la teoría de la estimación de parámetros, podemos afirmar que ₁ - ₂ es un estimador puntual de μ₁ - μ₂ . Este tipo de afirmaciones y otros similares relacionados con las medias poblacionales, nos permiten formular modelos de hipótesis de comparaciones de medias, que es lo que vamos estudiar ahora.

Ante todo analicemos el estadístico de la prueba, válido para todos los modelos: Puesto que ₁ - ₂ es una variable muestral cuya distribución de probabilidad viene dada por μ_{1 - 2} = μ₁ - μ₂ y σ²₁ - ₂ , en donde éste último depende de si las varianzas poblacionales son conocidas o no, contemplemos los siguientes casos:

Caso1: Cuando las varianzas poblacionales σ²₁ y σ²₂ , son conocidas:

En este caso,

Caso 2: Cuando las varianzas poblacionales σ²₁ y σ²₂ no son conocidas:

Como la distribución muestral de la variable debe ser transformada en una variable t de Student, debemos determinar si las varianzas poblacionales son iguales o diferentes.

Lo anterior implica formular y resolver hipótesis de igualdad de varianzas:

Modelo de cola a la izquierda

Ho: μ₁ ≥ μ₂

H1: μ₁ < μ₂

El estadístico de la prueba es Z_C o t_C, dependiendo de la distribución.

Criterio d decisión:

Si la varianzas poblacionales son conocidas: Rechazaremos Ho si Z_C < Z_α

Si la varianzas poblacionales son desconocidas: Rechazaremos Ho si t_C < t_α