Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9 DISTRIBUCIONES CONOCIDAS: CASO DE VARIABLE DISCRETA

Experimento de Bernoulli

Sea ζ un experimento y Ω el espacio muestral asociado a ζ. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no, de un determinado evento A ⊆ Ω. Diremos que este experimento constituye un Ensayo de Bernoulli si posee las siguientes características: La realización de este experimento genera dos únicos resultados posibles: ocurre el evento A o no ocurre; diremos que hay éxito si ocurre A, con p = P(A), probabilidad de éxito y diremos que hay fracaso si A no ocurre, en cuyo caso, si q representa la probabilidad de fracaso, entonces = 1 – p = 1 – P(A) = P(A’). Cada vez que se ejecuta el experimento p es siempre la misma; es decir, la probabilidad de éxito es constante.

La ocurrencia o no del evento A no influye en los resultados de la repetición del experimento; es decir, los resultados son independientes

Distribución de Bernoulli

Sea ζ un Experimento de Bernoulli y Ω, el espacio muestral asociado a . Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un cierto evento tal como A. Sea p = P(A) la probabilidad de la ocurrencia de A. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa “El número de veces que ocurre éxito cada vez que se realiza el ensayo de Bernoulli”, diremos que X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli con parámetro “p”, entendida como la probabilidad de éxito. Usaremos como notación la siguiente expresión: X → Be(p) para indicar que la variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p.

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli, con parámetro p, entonces su función de distribución viene dada por

p(x) = P(X = x ) = p ( 1 – p ) ^{1 – x},     para X = 0, 1

Teorema

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Bernoulli, entonces μ_X = E[X] = p     y σ²_X = V[X] = p (1-p) = pq