Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9.1 Distribución Binomial

Sea ζ un Ensayo de Bernoulli y Ω el espacio muestral asociado a ζ. Sea A el evento en el cual estamos interesados. Supongamos que dicho ensayo se repite n veces. Supongamos también que, cada vez que ocurre el evento A, diremos que se obtuvo éxito con probabilidad p y no hubo éxito con probabilidad q = 1 – p. Si X es una variable aleatoria definida como “El número de veces que ocurre éxito en las n repeticiones del experimento”, diremos que X es una variable aleatoria que tiene Distribución Binomial con parámetros n y p, lo cual denotaremos por X → B(n, p). Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p, entonces su distribución de probabilidad es

p(x) = P(X = x) = C(n, x) p^x(1-p)^n-x,       x = 0, 1, 2, ..., n.

Teorema

Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros n y p, entonces

μ_X = E[X] = np

σ²_X = V[X] = n p (1-p) = npq

Problemas de Binomial usando Excel

Excel dispone de la siguiente función para resolver problemas de Binomial: = Distr.Binom(m,n,p,tipo)     = P(X ≤ k)

Donde

m: Representa el número de éxitos que se desea que ocurra

n : representa el número de veces que se realiza el experimento

p : representa la probabilidad de éxito

tipo : Es 1 o Verdadero si se desea P(X ≤ k). Es 0 o Falso si se desea P(X = k)

Ejemplo 85

Se lanzan dos dados cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma 9 aparezca exactamente dos veces?

Solución

Si lanzamos una vez los dos dados, la probabilidad de que la suma sea 9 es 1/9. Llamemos a esta ocurrencia éxito, con lo cual p = 1/9.

Sea X la variable aleatoria que representa “El número de veces en que la suma es 9”. Según lo dicho, X tiene distribución binomial B(n = 4, p = 1/9).

Según la definición, su función de probabilidad será

p(x) = P(X = x) = C(4, x) p^x(1-p)^4-x     ,     x = 0, 1, 2, 3, 4.

De acuerdo a la pregunta, p(2) = P(X = 2) = C(4, 2)(1/9)²(8/9)² = 0.058527

Usando Excel:

P(X = 2) = Distr.Binom(2,4,1/9,0)