Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 123

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (-a, a) , donde a > 0. Cada vez que sea posible, determinar a, de manera que se cumpla lo siguiente:

a) P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 )

b) P( X > 1 ) = 1/3

c) P(X < 1/2 ) = 0.7

Solución

a) Si P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 ) entonces 1 - P( | X | ≤ 1 ) = P( | X | < 1 ).

Simplificando y “despejando la incógnita”, tenemos P( | X | ≤ 1 ) = 0.5. Esto significa que

b) Si P( X> 1 ) = 1/3 entonces P(X ≤ 1) = 2/3. Como por otro lado sabemos que F(x) = (x-a) / (b-a), entonces (1+a)/2a = 2/3 de donde a = 3.

c) P(X < 1/2) = 0.7 implica que F(1/2) = 0.7, de donde a = 10/8 = 1.25

Ejemplo 124

Isabel Ventura es una eficiente y preocupada gerente de operaciones de una aerolínea local. Sus investigaciones sobre el servicio de vuelos en la ruta Lima - Miami – Lima indican que se ha incrementado considerablemente debido a una fuerte promoción al turismo.

Puesto que este servicio depende de la ruta Lima – Cuzco, que también la cubre, el incremento observado puede verse afectado si el tiempo de vuelo entre Lima y Cuzco se incrementa.

Ella sabe que el tiempo de vuelo en esta ruta sigue una distribución uniforme con un promedio de 1.5 horas. Sabe además que la diferencia entre el mayor y menor tiempo que puede tardar un vuelo en esta ruta, es de 20 minutos. En la idea de mejorar sus servicios

a) ¿Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos?

b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado en la ruta nacional, ¿cuál es el tiempo máximo para que un vuelo no llegue retrasado?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que tarda un vuelo entre Lima y Cuzco”.

Puesto que X tiene distribución uniforme, supondremos que el intervalo sobre el cual está definida su función de distribución f , es (a, b); valores que debemos determinar ante todo.

Como el promedio del tiempo de vuelo es 1.5 horas, entonces (a+b) / 2 = 3 / 2, de donde a+b=180, expresado en minutos.

Por otro lado, se sabe que b – a = 20 minutos.

Recordando nuestros viejos métodos de solución de sistemas de ecuaciones encontramos a = 80 y b = 100, por lo que la función de densidad de X es f(x) = 1/20 con 80 ≤ X ≤ 100. Ahora resolvamos las preguntas.

a) Usando la función de distribución acumulada de X, P(84 ≤ X ≤ 96 ) = (96 - 84) / 20 = 0.6

b) Un vuelo no llegará retrasado si su tiempo de vuelo, X es menor que un valor, digamos K. Esto ocurre con la probabilidad P( X< K) y como se desea que esto sea sólo el 5%, entonces P( X < K ) = 0.05, de donde (k-80)/20 = 0.05. Por tanto, el máximo valor de K será igual a 81.

Ejemplo 125

La Agente de corretajes “ISA” recibe de sus clientes un pago fijo de $ 1200 más una comisión del 8% sobre el beneficio que obtiene el cliente en cada transacción realizada por la agencia. Si este beneficio varía por lo general entre $ 10,000 y $ 12,000.

a) ¿Cuánto espera obtener de utilidad la agente ISA?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que su utilidad supere los $ 2,100?

Solución

Sea X la variable aleatoria que representa “El beneficio obtenido por el cliente(en unidades de 10,000)”. Puesto que X se distribuye uniformemente entre 1 y 1.2 entonces su función de densidad viene dada por

Definamos también a Y como “La utilidad de la agente ISA”. Según el problema Y = 1200 + 0.08X.

a) E[Y] = E[1200 + 0.08X] = 1200 + 0.08E[X]

Como X tiene distribución uniforme entonces E[X] = 1.1 Luego E[Y] = 1200 + 0.08*1.1x10000 = 2080.

La agencia “ISA” espera obtener una utilidad de $ 2080.

b) Debemos encontrar P( Y > 2100). Recordemos que esta probabilidad podemos hallarla usando la función de distribución de Y, pero como esta no es conocida, y no deseamos obtenerla, usaremos el procedimiento acostumbrado:

Reemplazar la definición de Y y despejando X, resolveremos la probabilidad para X, ya que conocemos la función de distribución de X.

En efecto

P(Y > 2100 ) = P( 1200 + 0.08X > 2100) = P(0.08X > 900).

Como X está en unidades de diez mil, para usar las mismas unidades en ambos lados de la inecuación tenemos P(0.08xXx10000 > 900 ) = P(X > 9/8) = P(X > 1.125) = 0.375