Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 126

El tiempo medio en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación de trenes es un fenómeno aleatorio que obedece una ley de distribución uniforme, en el intervalo de 20 a 25 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estación a las 7:28 a.m. en punto, si sale de su casa exactamente a las 7:05 a.m.?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que la persona tarda en de su casa a la estación”. Como X se distribuye uniformemente en el intervalo (20, 25), entonces su función de densidad de probabilidad es f(x) = 1/5,     20 ≤ x ≤ 25.

Si sale de su casa a las 7:05 y el tren sale de su estación a las 7:28 entonces el tiempo que se tarde en llegar a la estación debe ser menor que 23 minutos; es decir, X < 23. La probabilidad de que esto ocurra es

Ejemplo 127

Los trenes que se dirigen hacia el destino A llegan a una estación cada 15 minutos, comenzando a las 7:00 a.m., mientras que los trenes que se dirigen hacia el destino B llegan a la misma estación cada 15 minutos, comenzando a las 7:05 a.m.

 Si cierto pasajero llega a la estación en un tiempo uniformemente distribuido entre las 7 y 8 a.m. y aborda el primer tren que llega, qué proporción de veces él va hacia el destino A?

Solución

El siguiente esquema pretende explicar la situación

Sea X la variable definida como “El tiempo que la persona tarda en ir de su casa a la estación”. X → U(7:00, 8:00). Esto implica que f(x) = 1/60,     0 ≤ x ≤ 60.

Puesto que la persona puede llegar entre las 7:0 y 8:0 a.m., para tomar el tren que va con destino a la ciudad A, debe llegar en los siguientes intervalos :

Entre las 7:05 a 7:15, entre las 7:20 y las 7:30; entre las 7:35 y las 7:45 y entre las 7:45 y las 8:0.

Esto significa que el tiempo que debe tardarse debe ser a lo más, de 10 minutos. Luego, si A representa el evento “La persona llega a tiempo a la estación”, P(A) = P(0 < X ≤ 10).

P(0 < X ≤ 10) es la integral de 0 a 10 de la funció de densidad f(x) = 1/60: el cual es 1/6.

Por otro lado, como dicha persona puede llegar antes de los 10 minutos, pero en cualquiera de los 4 intervalos mencionados, entonces, por el principio de la aditividad, P(A) = 4(1/6) = 2/3.