Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 132

La longitud de vida de una especie de planta en cierto medio ambiente es una variable aleatoria continua X, que tiene una distribución exponencial con una longitud media de vida de 1000 días.

a) ¿Qué proporción de plantas de esta especie mueren antes de los 1000 días?

b) Si una planta individual vive durante 800 días, ¿cuál es la probabilidad de que viva otros 400 días?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida con la longitud de vida de esa especie de plantas

Como X tiene distribución exponencial con μ_X = 1000, entonces α f(x) = 1/1000 e^-1/1000x     x > 0,   con lo cual

a) La proporción de plantas que mueren antes de los 1000 días es

P(X <1000 ) = F(1000) = 1 - e^{-1/1000(1000)} = 0.6321.

Nota:

Este tipo de pregunta nos da oportunidad de comentar, mediante un ejemplo, la afirmación de que la distribución exponencial es una función como “ falta de memoria”.

Veamos por qué:

De acuerdo a lo dicho en la propiedad en cuestión, P(X>s + t /X> s ) = P(X > t ). En este caso, según el problema s = 800 , t = 400, por lo que, aplicando la propiedad tendremos

Ejemplo 133

Considere unos focos producidos por una máquina, de los que sabemos que su duración X, en horas, es una variable aleatoria con distribución exponencial y una media de 1000 horas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 focos no contenga focos con duración menor que 1020 horas?

b) Supongamos ahora que la muestra de 5 focos se coloca en una caja. Si se selecciona aleatoriamente un foco de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que el foco seleccionado tenga una duración mayor a 1020 horas?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo de vida un foco producido por esa máquina”.

Como X se distribuye exponencialmente con X = 1000, entonces  = 1/1000 con lo cual

f(x) = 1/1000 e^-1/1000x,     x > 0.

a) Como se tiene una muestra de 5 focos, n = 5. Según la pregunta debemos hallar la probabilidad de que ninguno de estos focos tenga una duración menor a 1020 horas. Esto nos obliga a definir otra variable, digamos Y como “El número de focos cuya duración sea menor a 1020 horas”.

La probabilidad de éxito para una ocurrencia particular de Y es

b) Ahora se trata de seleccionar un foco de la caja que contiene 5 focos. La probabilidad de que este foco dure más de 1020 horas es

P(X > 1020) = 1 – P(X ≤ 1020) = 0.3606

Relación entre la distribución Exponencial y Poisson

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de éxitos obtenido en un período de tiempo t”

Sea λ el parámetro que representa “El número de esperado de éxitos obtenidos por unidad de tiempo”. Esto significa que, en t unidades de tiempo, el número esperado de ocurrencias será λt , por ello, la distribución de probabilidad de X, así definida será