Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 129

El tiempo de vida de una batería tiene distribución exponencial, con una desviación estándar de 6 horas. La utilidad por batería es el 20% de su costo C de fabricación cuando el tiempo es mayor que 6 horas; mientras que si dura menos de 6 horas, se pierde el 10% de su costo C. Para qué valor de C se tiene una utilidad esperada mayor que 0.1 por batería?

Solución

Sea Y la variable aleatoria definida como la utilidad por batería.

Según el problema, Y se define como

Decir que la utilidad esperada deba ser mayor que 0.1 por batería significa que E[Y] > 0.1. Será suficiente encontrar un valor de C tal que E[Y] = 0.1. De acuerdo a la definición de Y, tomando valor esperado a Y, tenemos

E[Y] = 0.20CP(X  6) + (-0.10C P(X < 6) = 0.20C(1-P(X<6)) – 0.10CP(X < 6)

=0.20C–0.30CP(X<6)=C(0.20 – 0.30x(1 - )= C(0.20 – 0.3x0.6321)=0.1036C

Haciendo 0.1036C = 0.1, de acuerdo al problema, obtenemos C = 9.65.

Para todo C / C > 9.65 se tendrá una utilidad esperada mayor que 0.1 por batería.

Ejemplo 130

Supongamos que el intervalo de tiempo entre la llegada de clientes a la ventanilla de un banco sigue una distribución exponencial con una media de 0.20 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que los clientes lleguen en un intervalo menor a los 10 segundos?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El intervalo de tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente y el siguiente, medido en minutos”.

Como X tiene distribución exponencial con media μ = 0.20, entonces α = 1/0.20 = 5.

Luego la función de densidad de probabilidad de X viene dada por

f(x) = 5e^-5x,     x > 0.

Se pide encontrar la probabilidad de que los clientes lleguen a un intervalo menor a 10 segundos. Diez segundos es equivalente a 1/6 minutos. Pasamos a minutos por cuanto la variable X está definida en minutos.

Luego P(X < 1/6 ) = F(1/6) = 1 - e^-5(1/6) = 0.5654

Ejemplo 131

Hallar, si existe, la función de densidad de probabilidad exponencial que cumple la siguiente condición:

P(X ≤ 3) = 2/3 P(X ≤ 3)

Solución

Si X tiene distribución exponencial con α su parámetro entonces, usando la condición propuesta tenemos

Si hacemos u = e^-α entonces en (a), tenemos 2μu³ – 3μ² + 1 = 0.

Resolviendo esta cúbica mediante el método de Ruffini, encontramos (u – 1)²(2u + 1) = 0 al reemplazar a μ por su valor y pretender resolver las ecuaciones con α, encontramos que no existe un α<>0 que satisfaga la condición planteada.